已知函数f(x)=x^2+3/(x-a)(x≠a,a为非零常数)（1）解不等式f(x)＜x（2）设x＞a时f(x)有最小值为6,求a的值

Question

已知函数f(x)=x^2+3/(x-a) (x≠a,a为非零常数)
（1）解不等式f(x)＜x
（2）设x＞a时f(x)有最小值为6,求a的值

Answer 1

（1）由f（x）＜x,得x²+3/( x-a) ＜x,即
ax+3 /(x-a) ＜0,等价于（ax+3）/（x-a）＜0,
当a＞0时,化为（x+3/ a ）（x-a）＜0．
∵-3/ a ＜a,∴解集为{x|-3/ a ＜x＜a}．
当a＜0时,不等式化为（x+3/ a ）（x-a）＞0,
∵-3/ a ＞a,∴解集为{x|x＜a或x＞-3/ a }．
（2）∵x＞a,∴x-a＞0．
f（x）=﹙x²+3﹚/﹙ x-a ﹚
=﹙x²-a²+a²+3﹚/﹙ x-a﹚
=（x+a）+﹙a²+3﹚/﹙ x-a ﹚
=（x-a）+﹙a²+3﹚/﹙ x-a﹚ +2a
≥2 √﹙a²+3 ﹚+2a．
当且仅当x=a+√﹙ a²+3 ﹚时,等号成立
故f（x）min=2√﹙ a²+3 ﹚+2a,
由已知2√﹙ a²+3 ﹚+2a=6,解得a=1．