（2012•东城区二模）已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间

Question

（2012•东城区二模）已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．
（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；
（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．

Answer 1

（1）MN=AM-CN，
理由是：在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，
∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
∴OC=OA，O也是等边三角形三个角的平分线交点，
∴∠OCA=∠OAB=∠OCN=(1)/(2)×60°=30°，
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠NCO=∠OAN′，
∵在△OCN和△OAN′中

OC＝OA

∠NCO＝∠OAN′

AN′＝CN

，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
∴∠CON+∠COM=60°，
∴∠AON′+∠COM=60°，
即∠NOM=∠N′OM，
∵在△NOM和△N′OM中

ON＝ON′

∠NOM＝∠N′OM

OM＝OM

，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵MN′=AM-AN′=AM-CN，
∴MN=AM-CN．

（2）MN=AM-CN，
证明：理由是：在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，
∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCB=∠OCA=∠OAC=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠OCN=∠OAN′=30°，
∵在△OCN和△OAN′中

OC＝OA

∠NCO＝∠OAN′

AN′＝CN

，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON=ON′，∠CON=∠AON′
∴∠N′ON=∠COA=120°，
又∵∠MON=60°，
∴∠MON=∠MON′=60°
∵在△NOM和△N′OM中

作业帮用户 2017-09-26

问题解析

（1）在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线得出∠OCN=∠OAN′=30°，OC=OA，证△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS证△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；
（2）结论还成立，证明过程与（1）类似；
（3）结论是MN=CN+AM，延长CA到N′，使AN′=CN，连接OC，OA，ON′，证△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS证△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；

名师点评

本题考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

考点点评：

本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力和猜想能力，题目具有一定的代表性，证明过程类似．

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