计算不定积分∫xearctanx(1+x2)32dx．

Question

计算不定积分∫(xearctanx)/((1+x2)(3)/(2))dx．

Answer 1

解  令t=arctanx，即x=tant，则
∫(xearctanx)/((1+x2)(3)/(2))dx=∫(tant•et)/((1+tan2t)3/2)•sec2tdt=∫e^tsintdt
而∫e^tsintdt=∫e^td（-cost）=-coste^t+∫e^tcostdt
=-coste^t+∫e^tdsint=-coste^t+sinte^t-∫e^tsintdt
∴∫etsintdt＝(1)/(2)et(sint−cost)+C．（其中C为任意常数）
∫(xearctanx)/((1+x2)(3)/(2))dx＝(1)/(2)et(sint−cost)+C=(1)/(2)earctanx((x)/(√(1+x2))−(1)/(√(1+x2)))+C