矩阵的最大特征值特征向量有什么简便一点的方法可以求矩阵11/242；2132；1/41/311/2；1/21/221能不能不用matlab,希望可以有详细的手动计算步骤

Question

矩阵的最大特征值特征向量 有什么简便一点的方法可以求矩阵
1 1/2 4 2；
2 1 3 2；
1/4 1/3 1 1/2；
1/2 1/2 21
能不能不用matlab,希望可以有详细的手动计算步骤

Answer 1

设矩阵的特征值为λ,
则行列式|A-λE|=
1-λ 1/2 4 2 =0
2 1-λ 3 2
1/4 1/3 1-λ 1/2
1/2 1/2 2 1-λ 第2行减去第1行×2,第4行减去第3行×2
=
1-λ 1/2 4 2
2λ -λ -5 -2
1/4 1/3 1-λ 1/2
0 -1/6 2λ -λ 第3列加上第4列×2
=
1-λ 1/2 8 2
2λ -λ -9 -2
1/4 1/3 2-λ 1/2
0 -1/6 0 -λ 把行列式按第4行展开
= |1-λ 8 2 | * (-1/6) * (-1)^(4+2)+ |1-λ 1/2 8| *(-λ) * (-1)^(4+4)
|2λ -9 -2 | | 2λ -λ -9|
|1/4 2-λ 1/2| | 1/4 1/3 2-λ|
=(4λ^2 +3λ)/12 + (λ^4-4λ^3 - 1/3 *λ^2 -15λ/8)
=λ/8 * (8λ^3 -32λ^2 -13) =0
显然λ=0时,|A-λE|=0,
即矩阵的最大特征值一定大于等于0,
解方程8λ^3 -32λ^2 -13=0
对8λ^3 -32λ^2 -13求导得到24λ^2 -64λ令其大于0,
即λ>8/3或λ