设f(x)=x^3-27x^2+243x-720,则对任意实数m,n,m+n>=18是f(m)+f(n)>=18的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不必要也不充分条件

Question

设f(x)=x^3-27x^2+243x-720,则对任意实数m,n,m+n>=18是f(m)+f(n)>=18的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不必要也不充分条件

Answer 1

f(x)=x^3-27x^2+243x-720
=x^3-27x^2+243x-729+9
=(x-9)^3+9
f'(x)=3(x-9)^2≥0恒成立
∴f(x)是增函数
y=x^3图像关于原点对称
将y=x^3图像向右平移9个单位,再向上平移18个单位,
得到y=f(x)图像,因此,f(x)图像关于点(9,18)对称,
∴f(18-x)=18-f(x)
若m+n>=18
那么m≥18-n根据f(x)为增函数,
∴f(m)≥f(18-n)=18-f(n)
∴f(m)+f(n)≥18
若f(m)+f(n)≥18
则f(m)≥18-f(n)=f(18-n)
∴m≥18-n
∴m+n≥18
即m+n>=18是f(m)+f(n)>=18的充要条件.
选C