等比数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A、B、C,则A^2+B^2=A(B+C)为什么?

Question

等比数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为A、B、C,则
A^2+B^2=A(B+C)
为什么?

Answer 1

一.设等比数列为an=a1*q^(n-1)
那么 A=a1(1-q^n)/(1-q);
B=a1(1-q^(2n-1))/(1-q);
C=a1(1-q^(3n-1))/(1-q);
带进去可以得到：A^2+B^2=A(B+C)
二.
等比数列的性质：记S(n)为等比数列an的前n项和,P(n)为S(n)-S(n-1),n=1,2,……；则P(n)也为等比数列；切公比为q^n；
那么：A,B-A,C-B是等比数列
所以：(B-A)/A=(C-B)/（B-A)
(B-A)(B-A)=A(C-B);
化简得：A^2+B^2=A(B+C)