如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．

Question

如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．

（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE=90°，
∴∠EAB+∠E=90°．
∵∠E=∠C，∠C=∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．
（2）由（1）可知∠ABE=90°，直径AE=2AO=6，AB=4，
∴BE＝√(AE2−AB2)＝2√(5)．
∵∠E=∠C=∠BAD，BD⊥AB，
∴cos∠BAD=cos∠E．
∴(AB)/(AD)＝(BE)/(AE)即(4)/(AD)＝(2√(5))/(6)．
∴AD＝(12√(5))/(5)．