已知a、b、c都是正整数，且二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点A、B．（1）若A、B分别在点（-1，0）的两侧，试比较b与a+c的大小；（2）若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最

Question

已知a、b、c都是正整数，且二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点A、B．  
（1）若A、B分别在点（-1，0）的两侧，试比较b与a+c的大小；
（2）若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．

Answer 1

（1）∵a是正整数，
∴二次函数y=ax²+bx+c的图象开口方向向上，
又∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点A、B，A、B分别在点（-1，0）的两侧，
∴当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
整理 得b＞a+c；

（2）设A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）．
据题意得，方程ax²+bx+c=0有两个相异根，都在（-1，0）中，
故当x=-1时，y＞0，则a-b+c＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0的两根 (c)/(a)=x₁x₂＜1且b²-4ac＞0①，
可见a-b+c≥1②，且a＞c．
所以a+c≥b+1＞2√(ac)+1，可得 （√(a)-√(c)）²＞1，③
由③得 √(a)＞√(c)+1，故a＞4，
又因为b＞2√(ac)≥2√(5×1)＞4，分别取a、b、c的最小整数5、5、1．
经检验，符合题意，
所以a+b+c=11最小．