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(2014•文登市三模)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x,(x∈R)的一个极值点.(Ⅰ)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;(Ⅱ)设a>0,g(x)=(a2+254)ex,若存在ξ1,ξ2
题目详情
(2014•文登市三模)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x,(x∈R)的一个极值点.
(Ⅰ)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设a>0,g(x)=(a2+
)ex,若存在ξ1,ξ2∈[0,4],使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<
成立,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设a>0,g(x)=(a2+
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▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵f(x)=(x2+ax+b)e3-x
∴f′(x)=(2x+a)e3-x-(x2+ax+b)e3-x=-[x2+(a-2)x+b-a]e3-x,
由题意得:f′(3)=0,即32+3(a-2)+b-a=0,b=-2a-3,
∴f(x)=(x2+ax-2a-3)e3-x且f′(x)=-(x-3)(x+a+1)e3-x
令f′(x)=0得x1=3,x2=-a-1.
∵x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x,(x∈R)的一个极值点
∴x1≠x2,即a≠-4
故a与b的关系式b=-2a-3,(a≠-4).
(1)当a<-4时,x2=-a-1>3,由f′(x)>0得单增区间为:(3,-a-1);
由f′(x)<0得单减区间为:(-∞,3),(-a-1,+∞);
(2)当a>-4时,x2=-a-1<3,由f′(x)>0得单增区间为:(-a-1,3);
由f′(x)<0得单减区间为:(-∞,-a-1),(3,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当a>0时,x2=-a-1<0,f(x)在[0,3]上单调递增,在[3,4]上单调递减,
∴f(x)min=min{f(0),f(4)}=−2(a+3)e3,f(x)max=f(3)=a+6.
∴f(x)在[0,4]上的值域为[-2(a+3)e3,a+6].
又g(x)=(a2+
)ex,在x∈[0,4]上单调递增,
∴g(x)在x∈[0,4]上的值域为[a2+
,(a2+
)e4].
由于(a2+
)−(a+6)=(a−
)2≥0,
∴若存在ξ1,ξ2∈[0,4],使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<
成立,
必需
,解得0<a<3.
∴a的取值范围是(0,3).
∴f′(x)=(2x+a)e3-x-(x2+ax+b)e3-x=-[x2+(a-2)x+b-a]e3-x,
由题意得:f′(3)=0,即32+3(a-2)+b-a=0,b=-2a-3,
∴f(x)=(x2+ax-2a-3)e3-x且f′(x)=-(x-3)(x+a+1)e3-x
令f′(x)=0得x1=3,x2=-a-1.
∵x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x,(x∈R)的一个极值点
∴x1≠x2,即a≠-4
故a与b的关系式b=-2a-3,(a≠-4).
(1)当a<-4时,x2=-a-1>3,由f′(x)>0得单增区间为:(3,-a-1);
由f′(x)<0得单减区间为:(-∞,3),(-a-1,+∞);
(2)当a>-4时,x2=-a-1<3,由f′(x)>0得单增区间为:(-a-1,3);
由f′(x)<0得单减区间为:(-∞,-a-1),(3,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当a>0时,x2=-a-1<0,f(x)在[0,3]上单调递增,在[3,4]上单调递减,
∴f(x)min=min{f(0),f(4)}=−2(a+3)e3,f(x)max=f(3)=a+6.
∴f(x)在[0,4]上的值域为[-2(a+3)e3,a+6].
又g(x)=(a2+
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∴g(x)在x∈[0,4]上的值域为[a2+
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由于(a2+
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∴若存在ξ1,ξ2∈[0,4],使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<
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∴a的取值范围是(0,3).
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