如图，在四面体P-ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=233．（1）求证：PA⊥BD；（2）已知E是PA上一点，且BE∥平面PCD．若PC=2，求点E到平面ABCD的距离．

Question

如图，在四面体P-ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=(2√(3))/(3)．

（1）求证：PA⊥BD；
（2）已知E是PA上一点，且BE∥平面PCD．若PC=2，求点E到平面ABCD的距离．

Answer 1

（1）证明：连接AC交BD于O，
∵PC⊥BP，BP∩CP=P，
∴PC⊥AB，
∵AB⊥BP，BP∩CP=P，
∴AB⊥平面PBC，
∴AB⊥BC，
∵BC=(2√(3))/(3)，
∴tan∠BAC=(√(3))/(3)，即∠BAC=30°，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∵PC⊥BD，
∴BD⊥平面ACP，
∵AP⊂平面APC，
∴PA⊥BD，
（2）取AD的中点F，连接BF，EF，
当E为PA的中点时，BE∥平面PCD，证明如下，
∵AB=BD，
∴BF⊥AD，
有（1）的BC=CD，则CD⊥AD，
∴EF∥CD，
∵E为PA的中点，
∴EF∥PD，
∴平面BEF∥平面PCD，
∵BE⊂平面BEF，
∴BE∥平面PCD，
∵PC⊥底面ABCD，
∴点E到平面ABCD的距离等于(1)/(2)PC=1