如图，在平面直角坐标系中，直线y＝−3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2−233x+c(a≠0)经过A、B、C三点．（1）试求A、C的坐标，并求过A、B、C两点的抛物线的解析式及其顶点F的

Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝−√(3)x−√(3)与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2−(2√(3))/(3)x+c(a≠0)经过A、B、C三点．
（1）试求A、C的坐标，并求过A、B、C两点的抛物线的解析式及其顶点F的坐标；
（2）试说明△ABC为直角三角形．并指出，在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=-√(3)x-√(3)x轴交于点A，与y轴交于点C
∴点A（-1，0），C（0，-√(3)）
∵点A，C都在抛物线上，

0＝a+(2√(3))/(3)+c

−√(3)＝c

，
∴抛物线的解析式为y=(√(3))/(3)x²-(2√(3))/(3)x-√(3)，
∵y=(√(3))/(3)x²-(2√(3))/(3)x-√(3)=(√(3))/(3)（x-1）²-(4√(3))/(3)，
∴顶点F（1，-(4√(3))/(3)）；
（2）证明：
由（1）可知点A（-1，0），C（0，-√(3)），
∴AO=1，OC=-√(3)，
∴AC=2，
设y=0，则y=(√(3))/(3)x²-(2√(3))/(3)x-√(3)=0，解得：x=-1或3，
∴B的坐标是（3，0），
∴OB=3，
∴BC=√(BO2+OC2)=√(32+(√(3))2)=2√(3)，
∵AC²+BC²=16，AB²=16，
∴AC²+BC²AB²=16，
∴△ABC为直角三角形；
在抛物线上存在异于点C的点P，使△ABP为直角三角形，
理由如下：根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意，
∴P点的坐标是（2，-√(3)）；
（3）延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线y=(√(3))/(3)x²-(2√(3))/(3)x-√(3)，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=(√(3))/(3)，∴∠OBC=30°，BC=2√(3)，
在Rt△B′BH中，B′H=(1)/(2)BB′=2√(3)，
BH=√(3)B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-2√(3)），
设直线B′F的解析式为y=kx+b，

−2√(3)＝−3k+b

−(4√(3))/(3)＝k+b

，
解得：

k＝(√(3))/(6)

b＝−(3√(3))/(2)

，
∴y=(√(3))/(6)x-(3√(3))/(2)，
联立

y＝−√(3)x−√(3)

y＝(√(3))/(6)x−(3√(3))/(2)

，
解得：

x＝(3)/(7)

y＝−(10√(3))/(7)

，
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（(3)/(7)，-(10√(3))/(7)）．