已知双曲线x2a2−y2b2＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，直线l的方程为bx+ay-ab=0，若原点O到直线l的距离为34c，则双曲线的离心率为（）A．233或2B．233C．2或233D．2

Question

已知双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，直线l的方程为bx+ay-ab=0，若原点O到直线l的距离为(√(3))/(4)c，则双曲线的离心率为（　　）

A．(2√(3))/(3)或2
B．(2√(3))/(3)
C．√(2)或(2√(3))/(3)
D．2

Answer 1

原点（0，0）到直线bx+ay=ab的距离是d=(|ab|)/(√(a2+b2))＝(√(3))/(4)c，
两边平方得：a²b²=(3)/(16)c²（a²+b²）=(3)/(16)（c²）²，
即：16a²（c²-a²）=3（c²）²，
∴16a²c²-16c⁴=3c⁴，
两边除以a⁴，得：3e⁴-16e²+16=0，
解得e²=4或e²=(4)/(3)，
因为a＞b，所以a²＞b²，
即a²＞c²-a²，2a²＞c²，
所以(c2)/(a2)＜2，即e²＜2．
所以e²=4舍去．
∴e²=(4)/(3)，
所以离心率e=(2√(3))/(3)．
故选B．