求初等数论的答案一、填空1.（525,231）的最大公因数为\x052.2160的正约数的个数为\x053.求所有正约数的和等于15的最小正数为\x054.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为\x055.35!的标准分解

Question

求初等数论的答案
一、填空
1.（525,231）的最大公因数为
\x05
2.2160的正约数的个数为
\x05
3.求所有正约数的和等于15的最小正数为
\x05
4.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为
\x05
5.35!的标准分解式为
\x05
二、试证：6|n(n+1)(2n+1),这里n是任意整数.
三、假如(a,b)=1,那末(a-b,a+b)=1或2
四、求证 是不可约分数,这里n是任意正整数.

Answer 1

一：1）21
2）40
3）8
4）28
5）2^32*3^15*5^8*7^5*11^3*13^2*17^2*19*23*29*31
二：先证2|n(n+1)
若n=2k,则2|n,必有2|n(n+1)；
若n=2k+1,则n+1＝2k+2,此时有2|(n+1),故有2|n(n+1).
故欲证6|n(n+1)(2n+1),只需证3|n(n+1)(2n+1).
若n=3k,则3|n,有3|n(n+1)(2n+1)；
若n=3k+1,则2n+1=6k+3,有3|2n+1,即有3|n(n+1)(2n+1)；
若n=3k+2,则n+1=3k+3,有3|n+1,即有3|n(n+1)(2n+1).
(k为0、1、2、3、4……)
综上,得证!
三：运用辗转相除法理论(a-b,a+b)等价于(2a,a+b)
若a+b为奇数,则(2a,a+b)等价于(a,a+b)等价于(a,b)=1；
若a+b为偶数,此时a和b必同为奇数,若同为偶数,则(a,b)1,矛盾!
故a,b同为奇数,此时令a=2p+1,b=2q+1,则(2a,a+b)等价于2*(2p+1,p+q+1)等价于2*(p-q.p+q+1)等价于2*(p-q,2q+1),
故欲证(a-b,a+b)=2,只需证2*(p-q,2q+1),
因(a,b)=1,故(a-b,b)=1,即(2p-2q,2q+1)=1,有(p-q,2q+1)=1,
综上,得证!
第四题不完整～～～