同济高数下228页例3第二类曲面积分,解中cosa/cosr怎么来的?不应该是-cosa/cosr吗?后面按对坐标的曲面积分的计算法,=后添加的负号怎么来的

Question

同济高数下228页例3第二类曲面积分,解中cosa/cosr怎么来的?不应该是-cosa/cosr吗?后面按对坐标的曲面积分的计算法,=后添加的负号怎么来的

Answer 1

先看两类曲面积分之间的转换,同济高数下227页有.
∫∫Σ (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ) dS = ∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
==> cosα dS = dydz ==> cosβ dS = dzdx ===> cosγ dS = dxdy
对于xy面来说,曲面的单位法向量n = (cosα)i + (cosβ)j + (cosγ)k
= 1/√[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] * [- (∂z/∂x)i - (∂z/∂y)j + k],这个是取上侧的
= 1/√[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] * [(∂z/∂x)i + (∂z/∂y)j - k],这个是取下侧的
所以取下侧的话,注意角度α、β、γ都变成钝角,余弦值变负数,所以要添加负号.
cosα = (z'x)/√[1 + (z'x)² + (z'y)²] = x/√(1 + x² + y²)
cosβ = (z'y)/√[1 + (z'x)² + (z'y)²] = y/√(1 + x² + y²)
cosγ = - 1/√[1 + (z'x)² + (z'y)²] = - 1/√(1 + x² + y²)
于是∫∫Σ (z² + x²)dydz = ∫∫Σ (z² + x²) * cosα dS,先转为第一类
= ∫∫Σ (z² + x²) * cosα * 1/cosγ * dxdy,再转为第二类,将yz面转为xy面从而简化,不用向yz面投影
= ∫∫Σ (z² + x²) * x/√(1 + x² + y²) * (- 1)√(1 + x² + y²) dxdy
= ∫∫Σ [(z² + x)(- x) - z] dxdy,因为是取下侧的,所以要添加负号.(上侧正、下侧负)
= - ∫∫D { [1/4 *(x² + y²)² + x](- x) - 1/2 * (x² + y²) } dxdy、D：x² + y² ≤ 4
= ∫∫D (x/4)(x² + y²)² dxdy + ∫∫D [x² - (1/2)(x² + y²)] dxdy,前面积分是关于x的奇函数,等于0
= 0 + (1/2)∫∫D (x² - y²) dxdy = 8π
至于为什么方向余弦与曲面的单位法向量会等于那个,你要看偏导数应用的几何部分.
推导的话,从同济高数下97页的曲面切线方程方程开始看,然后到了曲面的法向量部分
98页到99页就是推导过程了.