如图，已知点P是正四面体A-BCD的棱AC中点，则直线DP与平面BCD所成角的正弦值为（）A．23B．73C．223D．13

Question

如图，已知点P是正四面体A-BCD的棱AC中点，则直线DP与平面BCD所成角的正弦值为（　　）

A．(√(2))/(3)
B．(√(7))/(3)
C．(2√(2))/(3)
D．(1)/(3)

Answer 1

过A做BD的垂线，垂足为F，连接CF，易知CF⊥BD，故平面AFC⊥BCD，
过A做AO⊥BCD，O应为BCD的中心，在CF上，因此AC投影在CF上．
故P在平面BCD的投影也在CF上，设为O′，连接O′D，知O′D⊥PO′，
如图示：
，
因PO′∥AO，故(PO′)/(AO)=(CP)/(CA)=(1)/(2)，
令正四面体的棱长为a
AF=DP=(√(3)a)/(2)，FO═(√(3)a)/(6)，AO=(√(6)a)/(3)，
∴PO′=(√(6)a)/(6)，∴sin∠PDO′=(PO′)/(PD)=(√(2))/(3)，
故选：A．