若正四棱锥的侧棱长为3，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（）A.23B.43C.223D.423

Question

若正四棱锥的侧棱长为

√(3)，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（　　）

A.

(2)/(3)

B.

(4)/(3)

C.

(2√(2))/(3)

D.

(4√(2))/(3)

Answer 1

过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O为正方形ABCD的中心．
连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．
设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=(a)/(2)，
∴SE=√(2)EO=(√(2))/(2)a．
在Rt△SAE中，∵SA²=AE²+SE²，
∴3=(a2)/(4)+(a2)/(2)，解得a=2．
∴SO=1，
∴棱锥的体积V=(1)/(3)S正方形ABCD•SO=(1)/(3)×22×1=(4)/(3)．
故选B．