如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217，AC、BD交于O点，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅰ）证明：PO⊥平面ABC

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2√(17)，AC、BD交于O点，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）证明：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）GH∥EF；
（Ⅲ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵四边形ABCD为正方形，且AC、BD交于点O，
∴O为AC、BD的中点，由已知得
PA=PC，PB=PD，
△PAC和△PBD均为等腰三角形，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
又AC、BD⊂平面ABCD，且AC∩BD=O，
∴PO⊥平面ABCD，
（Ⅱ）∵BC∥平面GEFH，
BC⊂平面ABCD，平面GEFH∩平面ABCD=EF，
∴BC∥EF，
同理可得，BC∥GH，
∴GH∥EF，
（Ⅲ）设BD与EF交于点K，连接GK，
∵PO⊥平面ABCD，且PO⊈平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH，又平面GEFH∩平面PBD=GK，PO⊂平面PBD，
∴PO∥GK，
∴GK为四边形GEFH底边上的高，
又因为BE=2，AB=8，得点E是靠近B点的AB的四等分点，
∵KE∥AD，
∴K为靠近点BD的四等分点，
∴K为OB的中点，又PO∥GK，
∴G为PB的中点，又GH∥BC，
∴H为PC的中点，又BC=8，
∴GH=4，又由已知得PB=2√(17)，OB=4√(2)，
∴PO=√(PB2−OB2)＝√(68−32)＝6，
∴GK=(1)/(2)PO=3，
又由BC∥EF，BE∥GK，可得EF=8，
∴S=(1)/(2)（GH+EF）•GK=(1)/(2)•（4+8）•3=18，