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3^x+4^x+5^x=6^xx有唯一解3求证!3的x次方，下同……都是216
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3^x+4^x+5^x=6^x x有唯一解3 求证!
3的x次方，下同……都是216
3的x次方，下同……都是216
▼优质解答
答案和解析
证明：方程有解x=3.下面分别证明x3时方程无解.
1）x0,方程化为
27/3^y+64/4^y+125/5^y=216/6^y
即27(1/3^y-1/6^y)+64(1/4^y-1/6^y)+216(1/5^y-1/6^y)=0
但是当y>0时,左边的每项都为正项,故无正解.
2）x>3时,设x=3+y,则y>0,方程化为
27·3^y+64·4^y+125·5^y=216/6^y
即27(3^y-6^y)+64(4^y-6^y)+216(5^y-6^y)=0
但是当y>0时,左边的每项都为负项,故无正解.
所以方程只有唯一解x=3
1）x0,方程化为
27/3^y+64/4^y+125/5^y=216/6^y
即27(1/3^y-1/6^y)+64(1/4^y-1/6^y)+216(1/5^y-1/6^y)=0
但是当y>0时,左边的每项都为正项,故无正解.
2）x>3时,设x=3+y,则y>0,方程化为
27·3^y+64·4^y+125·5^y=216/6^y
即27(3^y-6^y)+64(4^y-6^y)+216(5^y-6^y)=0
但是当y>0时,左边的每项都为负项,故无正解.
所以方程只有唯一解x=3
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