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(Ⅰ)已知α1,α2,β1,β2是4个三维列向量,其中α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,证明存在非零向量ξ,ξ既可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出.(Ⅱ)设α1=122,α2=213;β1=10
题目详情
(Ⅰ)已知α1,α2,β1,β2是4个三维列向量,其中α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,证明存在非零向量ξ,ξ既可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出.
(Ⅱ)设α1=
,α2=
;β1=
,β2=
.求(Ⅰ)中的ξ.
(Ⅱ)设α1=
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▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)反证法:(证明错误)
假设当且仅当ξ=0时,ξ可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出;
令:ξ=k1α1+k2α2=l1β1+l2β2,
则:k1α1+k2α2=l1β1+l2β2=0,
由于:α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,
则有:k1=k2=l1=l2=0,
∴α1,α2,β1,β2是线性无关的(????)有问题
与α1,α2,β1,β2是4个三维列向量其最大线性无关向量个数为3矛盾;
∴假设不成立
∴存在非零向量ξ,ξ即可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出.
(Ⅱ)令ξ=k1α1+k2α2=l1β1+l2β2
∴k1α1+k2α2-l1β1-l2β2=0
齐次方程的系数矩阵A=
→
∴k1=2l2,k2=0,l1=2l2
令l2=1
∴k1=2,k2=0,l1=2,l2=1
∴ξ=2α1=
(Ⅰ)反证法:(证明错误)
假设当且仅当ξ=0时,ξ可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出;
令:ξ=k1α1+k2α2=l1β1+l2β2,
则:k1α1+k2α2=l1β1+l2β2=0,
由于:α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,
则有:k1=k2=l1=l2=0,
∴α1,α2,β1,β2是线性无关的(????)有问题
与α1,α2,β1,β2是4个三维列向量其最大线性无关向量个数为3矛盾;
∴假设不成立
∴存在非零向量ξ,ξ即可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出.
(Ⅱ)令ξ=k1α1+k2α2=l1β1+l2β2
∴k1α1+k2α2-l1β1-l2β2=0
齐次方程的系数矩阵A=
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∴k1=2l2,k2=0,l1=2l2
令l2=1
∴k1=2,k2=0,l1=2,l2=1
∴ξ=2α1=
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作业帮用户
2017-11-07
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