（Ⅰ）已知α1，α2，β1，β2是4个三维列向量，其中α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量ξ，ξ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出．（Ⅱ）设α1=122，α2=213；β1=10

Question

（Ⅰ）已知α₁，α₂，β₁，β₂是4个三维列向量，其中α₁，α₂线性无关，β₁，β₂线性无关，证明存在非零向量ξ，ξ既可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出．
（Ⅱ）设α₁=

1

2

2

，α₂=

2

1

3

；β₁=

1

0

3

，β₂=

0

4

−2

．求（Ⅰ）中的ξ．

Answer 1

（Ⅰ）反证法：（证明错误）
假设当且仅当ξ=0时，ξ可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出；
令：ξ=k₁α₁+k₂α₂=l₁β₁+l₂β₂，
则：k₁α₁+k₂α₂=l₁β₁+l₂β₂=0，
由于：α₁，α₂线性无关，β₁，β₂线性无关，
则有：k₁=k₂=l₁=l₂=0，
∴α₁，α₂，β₁，β₂是线性无关的（？？？？）有问题
与α₁，α₂，β₁，β₂是4个三维列向量其最大线性无关向量个数为3矛盾；
∴假设不成立
∴存在非零向量ξ，ξ即可由α₁，α₂线性表出，又可由β₁，β₂线性表出．
（Ⅱ）令ξ=k₁α₁+k₂α₂=l₁β₁+l₂β₂
∴k₁α₁+k₂α₂-l₁β₁-l₂β₂=0
齐次方程的系数矩阵A=

1	2	−1	0
2	1	0	−4
2	3	−3	2

→

1	0	0	−2
0	0	1	−2
0	1	0	0

∴k₁=2l₂，k₂=0，l₁=2l₂
令l₂=1
∴k₁=2，k₂=0，l₁=2，l₂=1
∴ξ=2α₁=

2 4 4

作业帮用户 2017-11-07 问题解析 对（Ⅰ）采用反证法，推出α1，α2，β1，β2是线性无关的与α1，α2，β1，β2是4个三维列向量其最大线性无关向量个数为3矛盾； 对（Ⅱ）采用联立方程组，令ξ=k1α1+k2α2=l1β1+l2β2，求出k1=2l2，k2=0，l1=2l2，令l2=1即可． 名师点评 本题考点： 线性表示的充要条件． 考点点评： 本题主要考察①最大线性无关组的向量个数不超过向量的维数②线性无关的充要条件是向量组合的系数全部为0． 扫描下载二维码 ©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议