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(Ⅰ)已知α1,α2,β1,β2是4个三维列向量,其中α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,证明存在非零向量ξ,ξ既可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出.(Ⅱ)设α1=122,α2=213;β1=10

题目详情
(Ⅰ)已知α1,α2,β1,β2是4个三维列向量,其中α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,证明存在非零向量ξ,ξ既可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出.
(Ⅱ)设α1=
1
2
2
,α2=
2
1
3
;β1=
1
0
3
,β2=
0
4
−2
.求(Ⅰ)中的ξ.
▼优质解答
答案和解析

(Ⅰ)反证法:(证明错误)
假设当且仅当ξ=0时,ξ可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出;
令:ξ=k1α1+k2α2=l1β1+l2β2
则:k1α1+k2α2=l1β1+l2β2=0,
由于:α1,α2线性无关,β1,β2线性无关,
则有:k1=k2=l1=l2=0,
∴α1,α2,β1,β2是线性无关的(????)有问题
与α1,α2,β1,β2是4个三维列向量其最大线性无关向量个数为3矛盾;
∴假设不成立
∴存在非零向量ξ,ξ即可由α1,α2线性表出,又可由β1,β2线性表出.
(Ⅱ)令ξ=k1α1+k2α2=l1β1+l2β2
∴k1α1+k2α2-l1β1-l2β2=0
齐次方程的系数矩阵A=
12−10
210−4
23−32
100−2
001−2
0100

∴k1=2l2,k2=0,l1=2l2
令l2=1
∴k1=2,k2=0,l1=2,l2=1
∴ξ=2α1=
2
4
4
作业帮用户 2017-11-07
问题解析
对(Ⅰ)采用反证法,推出α1,α2,β1,β2是线性无关的与α1,α2,β1,β2是4个三维列向量其最大线性无关向量个数为3矛盾;
对(Ⅱ)采用联立方程组,令ξ=k1α1+k2α2=l1β1+l2β2,求出k1=2l2,k2=0,l1=2l2,令l2=1即可.
名师点评
本题考点:
线性表示的充要条件.
考点点评:
本题主要考察①最大线性无关组的向量个数不超过向量的维数②线性无关的充要条件是向量组合的系数全部为0.
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