已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图），E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）如

Question

已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图），E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；
（3）连接BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．

Answer 1

（1）取AB的中点H，连接MH，
∵M是线段DE的中点
∴MH=(1)/(2)（BE+AD），MH∥AD，
∵∠DAB=90°，
∴AD⊥AB，
∴MH⊥AB，
∴S_△ABM=(1)/(2)AB•MH得y=(1)/(2)x+2；（x＞0）

（2）过点D作DF⊥BC交于F，由图形可得DE=√((x−4)2+22)，
又∵MH=(1)/(2)AD+(1)/(2)BE=(1)/(2)（AD+BE），
即(1)/(2)（x+4）=(1)/(2)[2+√((x−4)2+22)]．
解得x=(4)/(3)．
即线段BE的长为(4)/(3)．
（3）因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论．
①当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，
作DF⊥BE，垂足为F，
tan∠ADB=tan∠BEM．
AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．
即2：4=2：（x-4）．
解得x=8．
即BE=8．
②当∠ADB=∠BME，
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME，
∵∠E是公共角，
∴△BED∽△MEB，
∵(DE)/(BE)＝(BE)/(EM)，即BE²=DE•EM，
∴BE²=(1)/(2)DE²，
∴x²=(1)/(2)[2²+（x-4）²]，
∴x₁=2，x₂=-10（舍去），
∴BE=2．
综上所述线段BE为8或2．