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已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图),E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点.(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;(2)如
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已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图),E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点.

(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长;
(3)连接BD,交线段AM于点N,如果以A,N,D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长.

(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长;
(3)连接BD,交线段AM于点N,如果以A,N,D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)取AB的中点H,连接MH,
∵M是线段DE的中点
∴MH=
(BE+AD),MH∥AD,
∵∠DAB=90°,
∴AD⊥AB,
∴MH⊥AB,
∴S△ABM=
AB•MH得y=
x+2;(x>0)

(2)过点D作DF⊥BC交于F,由图形可得DE=
,
又∵MH=
AD+
BE=
(AD+BE),
即
(x+4)=
[2+
].
解得x=
.
即线段BE的长为
.
(3)因为如果三角形ADN和BME相似,一定不相等的角是∠ADN和∠MBE,因为AD∥BC,如果两角相等,那么M与D重合,显然不合题意,故应分两种情况进行讨论.
①当∠ADN=∠BEM时,那么∠ADB=∠BEM,
作DF⊥BE,垂足为F,
tan∠ADB=tan∠BEM.
AB:AD=DF:FE=AB:(BE-AD).
即2:4=2:(x-4).
解得x=8.
即BE=8.
②当∠ADB=∠BME,
而∠ADB=∠DBE,
∴∠DBE=∠BME,
∵∠E是公共角,
∴△BED∽△MEB,
∵
=
,即BE2=DE•EM,
∴BE2=
DE2,
∴x2=
[22+(x-4)2],
∴x1=2,x2=-10(舍去),
∴BE=2.
综上所述线段BE为8或2.
∵M是线段DE的中点
∴MH=
1 |
2 |
∵∠DAB=90°,
∴AD⊥AB,
∴MH⊥AB,
∴S△ABM=
1 |
2 |
1 |
2 |

(2)过点D作DF⊥BC交于F,由图形可得DE=
(x−4)2+22 |
又∵MH=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
即
1 |
2 |
1 |
2 |
(x−4)2+22 |
解得x=
4 |
3 |
即线段BE的长为
4 |
3 |
(3)因为如果三角形ADN和BME相似,一定不相等的角是∠ADN和∠MBE,因为AD∥BC,如果两角相等,那么M与D重合,显然不合题意,故应分两种情况进行讨论.
①当∠ADN=∠BEM时,那么∠ADB=∠BEM,

作DF⊥BE,垂足为F,
tan∠ADB=tan∠BEM.
AB:AD=DF:FE=AB:(BE-AD).
即2:4=2:(x-4).
解得x=8.
即BE=8.
②当∠ADB=∠BME,
而∠ADB=∠DBE,
∴∠DBE=∠BME,
∵∠E是公共角,
∴△BED∽△MEB,
∵
DE |
BE |
BE |
EM |
∴BE2=
1 |
2 |
∴x2=
1 |
2 |
∴x1=2,x2=-10(舍去),
∴BE=2.
综上所述线段BE为8或2.
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