在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且3bsinC-5csinBcosA=0（1）求sinA；（2）若tan(A−B)＝−211，求tanC．

Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且3bsinC-5csinBcosA=0
（1）求sinA；
（2）若tan(A−B)＝−(2)/(11)，求tanC．

Answer 1

（1）由正弦定理(b)/(sinB)=(c)/(sinC)得：bsinC=csinB．
又3bsinC-5csinBcosA=0，
∴bsinC（3-5cosA）=0，
∵bsinC≠0，∴3-5cosA=0，即cosA＝(3)/(5)．
又A∈（0，π），
∴sinA＝√(1−cos2A)＝(4)/(5)；…（4分）
（2）由（1）知cosA＝(3)/(5)，sinA＝(4)/(5)，
∴tanA＝(4)/(3)．
因为tan(A−B)＝−(2)/(11)，
所以tanB＝tan[A−(A−B)]＝(tanA−tan(A−B))/(1+tanA•tan(A−B))＝((4)/(3)−(−(2)/(11)))/(1+(4)/(3)×(−(2)/(11)))＝2，
所以tanC＝−tan(A+B)＝−(tanA+tanB)/(1−tanAtanB)＝−((4)/(3)+2)/(1−(4)/(3)×2)＝2．…（8分）