在四面体ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，且ABBD=ACCD=2，则V四面体ABCD的最大值为（）A.6B.211C.215D.8

Question

在四面体ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，且

(AB)/(BD)=(AC)/(CD)=2，则V_{四面体ABCD}的最大值为（　　）

A. 6

B. 2

√(11)

C. 2

√(15)

D. 8

Answer 1

作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
取BC中点F，所以EF⊥BC，EF⊥AD，四面体ABCD的体积的最大值，只需EF最大即可，即需BE最大，
以AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线为y轴，则A（-3，0），D（3，0），
设B（x，y），则∵(AB)/(BD)=2，
∴AB=2BD，
∴（x+3）²+y²=4（x-3）²+4y²，
∴（x-5）²+y²=16，
∴BE最大为4，此时CE=4，(AC)/(CD)=2．
∴EF=√(16-1)=√(15)，
故四面体ABCD的体积的最大值为(1)/(3)×(1)/(2)×2×√(15)×6=2√(15)
故选：C．