101位的自然数A=8888……(50个8)()9999……(50个9)能被7整除,求()内的数

Question

101位的自然数A=8888……(50个8)( )9999……(50个9)能被7整除,求()内的数

Answer 1

注意到aaaaaa=aaa×1001=aaa×7×11×13
于是aaaaaa能被7整除.
于是这个101位的自然数去除48个8和48个9,
变为88（）99.
88m99
=88×1000+m99
=88×1001-88+m99
=88×7×11×13+m11
也就是说,m11是7的倍数.
方法一：
m依次尝试0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
于是m=5
方法二：
同余
m11≡0（mod7）
100m+11≡0（mod7）
2m+4≡0（mod7）
2m+4≡14（mod7）
m=5