证明:三角形两边的平方和,等于第三边的中线的平方与第三边一半的平方和的二倍.用勾股定理,不用余弦定理

Question

证明:三角形两边的平方和,等于第三边的中线的平方与第三边一半的平方和的二倍.
用勾股定理,不用余弦定理

Answer 1

设三角形两边为AB、AC,第三边的中线AD,
作第三边BC的高AE,则有
BE^2+AE^2=AB^2,CE^2+AE^2=AC^2,
AE^2+DE^2=AD^2
AB^2+AC^2=BE^2+CE^2+2AE^2=BC^2-2BE*CE+2AD^2-2DE^2
BC=2BD=2CD,2BE*CE=2(BD^2-DE^2)
所以AB^2+AC^2=BC^2+2AD^2-2BD^2=2[AD^2+（0.5BC)^2]