如图，已知O是△ABC的外接圆，AD是O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．（1）求证：BE是O的切线；（2）若BC=3，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．

Question

如图，已知 O是△ABC的外接圆，AD是 O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

（1）求证：BE是 O的切线；
（2）若BC=√(3)，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．

Answer 1

如图，

连接OB，∵BD=BC，
∴∠CAB=∠BAD，
∵∠EBD=∠CAB，
∴∠BAD=∠EBD，
∵AD是 O的直径，
∴∠ABD=90°，OA=BO，
∴∠BAD=∠ABO，
∴∠EBD=∠ABO，
∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，
∵点B在 O上，
∴BE是 O的切线，
（2）如图2，

设圆的半径为R，连接CD，
∵AD为 O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵BC=BD，
∴OB⊥CD，
∴OB∥AC，
∵OA=OD，
∴OF=(1)/(2)AC=(5)/(2)，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠BDE=∠ACB，
∵∠DBE=∠ACB，
∴△DBE∽△CAB，
∴(DB)/(AC)=(DE)/(BC)，
∴(√(3))/(5)=(DE)/(√(3))，
∴DE=(3)/(5)，
∵∠OBE=∠OFD=90°，
∴DF∥BE，
∴(OF)/(OB)=(OD)/(OE)，
∴((5)/(2))/(R)=(R)/(R+(3)/(5))，
∵R>0，
∴R=3，
∴AB=√(AB2-BD2)=√(33)
∵(AC)/(AB)=(BD)/(BE)，
∴BE=(3√(11))/(5)．