一个三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱长都为a，则此三棱柱的外接球的表面积为（）A.πa2B.15πa2C.113πa2D.73πa2

Question

一个三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱长都为a，则此三棱柱的外接球的表面积为（　　）
A. πa²
B. 15πa²
C. (11)/(3)πa²
D. (7)/(3)πa²

Answer 1

根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，
设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，
则其外接球的半径为OA₁，又设D为A₁C₁中点，在直角三角形EDA₁中，EA₁=(A1D)/(sin60°)=(a)/(2sin60°)，
在直角三角形ODA₁中，OE=(a)/(2)，由勾股定理
∴R=OA₁=√(OE2+EA12)=√(((a)/(2))2+((a)/(2sin60°))2)=√((7)/(12)a2)，
∴球的表面积为S=4π•(7)/(12)a2=(7)/(3)πa2，
故选：D．