如图，已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2＝169交于M、N两点，且∠MON=120°．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）设直线l与圆C2相切．（ⅰ）若直线l与抛物线C1也相切，求直线l的方程；（ⅱ

Question

如图，已知抛物线C₁：x²=2py（p＞0）与圆C2：x2+y2＝(16)/(9)交于M、N两点，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C₂相切．
（ⅰ）若直线l与抛物线C₁也相切，求直线l的方程；
（ⅱ）若直线l与抛物线C₁交与不同的A、B两点，求

OA

•

OB

的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）不妨设点M在y轴的右侧，
因为∠MON=120°，所以OM与x轴正半轴成30°角，
所以点M的坐标为((2√(3))/(3)，(2)/(3))，
即可将点M的坐标代入抛物线方程得((2√(3))/(3))2＝2p×(2)/(3)，
解得p=1，
所以抛物线C₁的方程为x²=2y…（3分）
（Ⅱ）设l：y=kx+b，即kx-y+b=0
因为l与圆C₂相切，所以(|b|)/(√(k2+1))＝(4)/(3)，即9b²=16（k²+1）---（1）…（5分）
（ⅰ）设直线l与抛物线C₁：x²=2y即y＝(1)/(2)x2相切于点T(t，(1)/(2)t2)
因为函数y＝(1)/(2)x2的导数为y'=x，所以

k＝t

(1)/(2)t2＝kt+b

----（2）
由（1）（2）解得

作业帮用户 2016-11-29

问题解析

（Ⅰ）不妨设点M在y轴的右侧，根据题意可得：OM与x轴正半轴成30°，根据半径得到点M的坐标再代入抛物线的方程进而得到P的值，即可求出抛物线的方程．
（Ⅱ）设l：y=kx+b，由题意可得：9b²=16（k²+1），
（ⅰ）设直线l与抛物线C₁相切于点T(t，(1)/(2)t2)，利用导数解决相切问题，即可得到k，t，b的两个关系式，结合上面所求的关系式进而求出k与b的值，得到直线方程．
（ⅱ）由直线与抛物线相交可得b与k的一个关系式，结合结合上面所求的关系式求出b的范围，再结合韦达定理利用b表示出

OA

•

OB

，进而求出其范围．

名师点评

本题考点：

圆与圆锥曲线的综合；直线的一般式方程；直线与圆的位置关系；抛物线的标准方程．

考点点评：

本题主要考查圆与抛物线、直线与抛物线的位置关系，以及向量的坐标运算，是对知识的综合考查，属于中档题目．在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般常把直线与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理解决问题．

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