当x→0时，1-cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a，n．

Question

当x→0时，1-cosxcos2xcos3x与axⁿ是等价无穷小，求常数a，n．

Answer 1

当x→0时余弦函数在x=0的带佩亚诺余项的泰勒展开式：
cosx＝

n+1

k＝1

((−1)k−1x2k−2)/((2k−2)!)+o(x2n)
则当x→0时函数在x=0的带佩亚诺余项的二阶泰勒展开式分别为：
cosx＝1−(1)/(2)x2+o(x2)
cos(2x)＝1−(1)/(2)(2x)2+o(x2)=1-2x²+o（x²）
cos(3x)＝1−(1)/(2)(3x)2+o(x2)=1−(9)/(2)x2+o(x2)
∴1-cosxcos（2x）cos（3x）=1−(1−(1)/(2)x2+o(x2))（1-2x²+o（x²））(1−(9)/(2)x2+o(x2))
=7x²+o（x²）
∴

lim

x→0

(7x2+o(x2))/(axn)＝1
∴a=7，n=2