若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚,问能称出哪几种重量?各有几种方案?母函数中拆分问题

Question

若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚,问能称出哪几种重量?各有几种方案?
母函数中拆分问题

Answer 1

如果用x的指数表示称出的重量,则：
1个1克的砝码可以用函数1+x表示,
1个2克的砝码可以用函数1+x2表示,
1个3克的砝码可以用函数1+x3表示,
1个4克的砝码可以用函数1+x4表示
几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10
从上面的函数知道,可称出从1克到10克,系数便是方案数.
例如右端有2x5 项,即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1,同样,6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4.故称出6克的方案有2,称出10克的方案有1