在三角形ABC中,若向量AB×向量AC＝5,向量AB－向量AC的模＝4,则三角形ABC的面积的最大值为

Question

在三角形ABC中,若向量AB×向量AC＝5,向量AB－向量AC的模＝4,则三角形ABC的面积的最大值为

Answer 1

△ABC中,AB·AC=5>0,说明A是锐角,而：AB·AC=|AB|*|AC|*cosA=bccosA=5
故：cosA=5/bc,即：sinA=sqrt(b^2c^2-25)/bc,而：|AB-AC|=4
即：(AB-AC)·(AB-AC)=|AB|^2+|AC|^2-2AB·AC=b^2+c^2-10=16
即：b^2+c^2=26,而：b^2+c^2≥2bc,故：bc≤(b^2+c^2)/2=26/2=13
故△ABC的面积：S=(1/2)bcsinA=(1/2)bc*sqrt(b^2c^2-25)/bc=sqrt(b^2c^2-25)/2
≤sqrt(13^2-25)/2=6,即S的最大值：6