设动点A,B在椭圆9x^2+16y^2=144上,椭圆中心为原点O,且OA垂直OB,求O到弦AB的距离

Question

设动点A,B在椭圆9x^2+16y^2=144上,椭圆中心为原点O,且OA垂直OB,求O到弦AB的距离

Answer 1

若A、B刚好在x轴、y轴上,则OA、OB长度分别为3和4,O到AB的距离为2.4
若A、B不在x轴、y轴上,则设OA的直线方程为：y=kx,则OB的方程为：y=(-1/k)x
先算A点.由：
9x^2+16y^2=144
y=kx
联合,解得：
x^2 = 144 / (9+16k^2)
y^2 = 144k^2 / (9+16k^2)
所以：
|OA|^2 = x^2 + y^2 = 144(k^2+1) / (9+16k^2)
再算B点.同样地,由：
9x^2+16y^2=144
y=(-1/k)x
联合,解得：
x^2 = 144k^2 / (16+9k^2)
y^2 = 144 / (16+9k^2)
所以：
|OB|^2 = x^2 + y^2 = 144(k^2+1) / (16+9k^2)
由于OA垂直于OB,O到AB的距离可以看成直角三角形OAB斜边AB上的高
即：O到AB的距离h*|AB| = |OA|*|OB|
h = |OA|*|OB| / √(|OA|^2 + |OB|^2)
把上面OA、OB的值代入,整理刚好消去k,最后得到h=2.4
所以,O到AB的距离恒为2.4