设∑是下半球面x2+y2+z2=2z（0≤z≤1）的下侧，则曲面积分∬2xdydz+2ydzdx+3（z-1）dxdy=143π143π．

Question

设∑是下半球面x²+y²+z²=2z（0≤z≤1）的下侧，则曲面积分

∬

2xdydz+2ydzdx+3（z-1）dxdy=

(14)/(3)π

(14)/(3)π

．

Answer 1

补充曲面∑1：z＝1(x2+y2≤1)取上侧，则

∬

2xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=

∫∫

∑+∑1

2xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy-

∫∫

∑1

2xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=I₁-I₂
其中I₁，设∑+∑₁所围成的立体为Ω，由高斯公式，得
I1＝

∫∫∫

Ω

(2+2+3)dxdydz=7

∫∫∫

Ω

dxdydz＝7•(1)/(2)•(4)/(3)π＝(14)/(3)π
其中I₂，由于∑₁在yoz面和zox面的投影为0，由第二类曲面积分的计算方法，得
I2＝

∫∫

∑1

3(1−1)dxdy＝0
∴原式=(14)/(4)π