如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2=BE2+CF2．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF²=BE²+CF²．

Answer 1

证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示：
在△EDF和△GDF中

DF=DF

∠EDF=∠FDG=90°

DG=DE

，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
在△BDE和△CDG中

BD=DC

∠BDE=∠CDG

，
∴△BDE≌△CDG（SAS）
∴BE=CG，∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG²=CF²+CG²=CF²+BE²
∴EF²=FG²=BE²+CF²．