如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q．若点P与A、B两点不重合，

Question

如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．

（1）求证：AC=AD+CE；  
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q．若点P与A、B两点不重合，求(DP)/(PQ)的值．

Answer 1

（1）∵BD⊥BE，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵∠C=90°，
∴∠2+∠E=180°-90°=90°，
∴∠1=∠E，
∵在△ABD和△CEB中，

∠1=∠E

∠A=∠C=90°

AD=BC

，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB=CE，
∴AC=AB+BC=AD+CE；
（2）如图，过点Q作QF⊥BC于F，

则△BFQ∽△BCE，
∴(BF)/(BC)=(QF)/(CE)，
即 (BF)/(3)=(QF)/(5)，
∴QF=(5)/(3)BF，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠FPQ=180°-90°=90°，
∵∠APD+∠ADP=180°-90°=90°，
∴∠ADP=∠FPQ，
又∵∠A=∠PFQ=90°，
∴△ADP∽△FPQ，
∴(AD)/(PF)=(AP)/(QF)，
即(3)/(5-AP+BF)=(AP)/(QF)，
∴5AP-AP²+AP•BF=3•(5)/(3)BF，
整理得，（AP-BF）（AP-5）=0，
∵点P与A，B两点不重合，
∴AP≠5，
∴AP=BF，
由△ADP∽△FPQ得，(DP)/(PQ)=(AP)/(QF)，
∴(DP)/(PQ)=(3)/(5)．