如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．

Question

如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：

（1）AD=BD=BC；
（2）点D是线段AC的黄金分割点．

Answer 1

证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°-36°-72°=72°，
∵∠ADB=108°，
∴∠ABD=180°-36°-108°=36°，
∴△ADB是等腰三角形，
∵∠BDC=180°-∠ADC=180°-108°=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD²=AC•DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．