若实数a，b，c成等差数列，直线ax+by+c=0被圆x2+y2=5截得线段中心的轨迹方程是(x−12)2+(y+1)2＝54(x−12)2+(y+1)2＝54．

Question

若实数a，b，c成等差数列，直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心的轨迹方程是

(x−(1)/(2))2+(y+1)2＝(5)/(4)

(x−(1)/(2))2+(y+1)2＝(5)/(4)

．

Answer 1

如图所示，直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心即为直线ax+by+c=0与直线bx-ay=0交点

设该点坐标为（x，y），则

x＝(−ac)/(a2+b2)

y＝(−bc)/(a2+b2)

且

c2＝(ax+by)2

b2x2+a2y2＝2abxy

又∵实数a，b，c成等差数列，
∴2b-a-c=0，即(−2bc)/(a2+b2)+(ac)/(a2+b2)+(c2)/(a2+b2)=0
即2y-x+((ax+by)2)/(a2+b2)=2y-x+(a2x2+b2y2+2abxy)/(a2+b2)
=2y-x+(a2x2+b2y2+b2x2+a2y2)/(a2+b2)
=2y-x+((a2+b2)(x2+y2))/(a2+b2)
=2y-x+x²+y²=0
即(x−(1)/(2))2+(y+1)2＝(5)/(4)
故直线ax+by+c=0被圆x²+y²=5截得线段中心的轨迹方程是(x−(1)/(2))2+(y+1)2＝(5)/(4)
故答案为：(x−(1)/(2))2+(y+1)2＝(5)/(4)．