已知a是正整数,如果关于X的方程已知a是正整数,如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数,求a的值及方程的整数根．方程可分解为：x^3-x^2+(a+18)x^2-(a+18)x+56x-56=0(x-1)[x^2+(a+18)x+56]=0其

Question

已知a是正整数,如果关于X的方程
已知a是正整数,如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数,求a的值及方程的整数根．
方程可分解为：x^3-x^2+(a+18)x^2-(a+18)x+56x-56=0
(x-1)[x^2+(a+18)x+56]=0
其中一个根为x=1
另2个根为方程x^2+(a+18)x+56=0的解
得：a=-x-56/x-18
x为56的因数,因为a>0,所以x为负整数
x=-1或-56,a=1+56-18=39,此时另2根为-1,-56
x=-2或-28,a=2+28-18=12,此时另2根为-2,-28
x=-4或-14,a=4+14-18=0,不符
x=-7或-8,.a=7+8-18

Answer 1

我想你是想知道这类高次方程是如何分解的.
这是用待定系数法因式分解的.因为X^3的系数是1.∴原式可分解为（x^2+bx+c)(x+d)=x^3+(b+d)X^2+(bd+c)x+dc ∴b+d=a+17
bd+c=38-a
dc=-56.(∵56的因数有1,2,4,7,8,14,28,56）
如果d=1,c=-56,那么等式恒成立.∴方程有一根是1.方程可化为：（x^2+bx+c)(x-1)的形式.
如果d=-1,c=56,那么等式恒也成立.∴方程有一根是-1.∴方程x^2+bx+c=x^2+bx+56=(x+1)(x+56)
∴原式可分解成（X-1）（X+1）（X+56）.∴X=1,-1,-56.
如果d=2,c=-28那么a=12,b=27∴方程有一根是2,方程可化为：（x^2+27x-28)(x+2)=(x+28)(x-1)(x+2)的形式,
如果d=-2,c=28,那么a=-48.
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此题目只需求出一根就容易分解了.不要一个个试.