如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=27，设∠ACB=θ，C点到AD的距离为h．（Ⅰ）求h（用θ表示）（Ⅱ）求AB+BC的最大值．

Question

如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=27，设∠ACB=θ，C点到AD的距离为h．
（Ⅰ）求h（用θ表示）
（Ⅱ）求AB+BC的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得：∠ADC=360°-（90°+120°+60°+θ）=90°-θ…1分
在△ACD中，(AD)/(sin∠ACD)=(AC)/(sin∠ADC)…3分
∴AC=(27cosθ)/(sin60°)=18√(3)cosθ…4分
又∠CAD=30°+θ，且0<θ<60°，
∴h=AC•sin∠CAD=18√(3)cosθsin（30°+θ），（0<θ<60°）…6分
（Ⅱ）在△ABC中，AB=(ACsinθ)/(sin120°)=18sin2θ，…7分
BC=(ACsin(60°-θ))/(sin120°)=36cosθsin（60°-θ）=9√(3)+9√(3)cos2θ-9sin2θ…8分
∴AB+BC=9√(3)+9√(3)cos2θ+9sin2θ=9√(3)+18sin（2θ+60°）…10分
∵0<θ<60°，…11分
∴当θ=15°时，AB+BC取到最大值9√(3)+18…12分．