如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层EFGH-E1F1G1H1转动α，如图乙，设α的对边长为x（1）试用α表示x；（2）求魔方增加的表面积的最大

Question

如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层EFGH-E₁F₁G₁H₁转动α，如图乙，设α的对边长为x

（1）试用α表示x；
（2）求魔方增加的表面积的最大值．

Answer 1

（1）由题意得x+(x)/(sinα)+(x)/(tanα)=3，
解得x=(3)/(1+(1)/(sinα)+(1)/(tanα))=(3sinα)/(1+sinα+cosα)，α∈（0，(π)/(2)），（6分）
（2）魔方增加的表面积为S=8×(x2)/(tanα)，
由（1）得S=(72sinα•cosα)/((1+sinα+cosα)2)，α∈（0，(π)/(2)），（10分）
令t=sinα+cosα=√(2)sin（α+(π)/(4)），t∈（1，√(2)]，
则S=(36(t2−1))/((1+t)2)=36（1-(2)/(t+1)）≤36×（1-(2)/(√(2)+1)）=108-72√(2)
（当且仅当t=

作业帮用户 2017-09-28

问题解析

（1）把魔方中间的一层EFGH-E₁F₁G₁H₁转动α，根据正方体的边长为3，可得边长被截得的三段长分别为x，(x)/(sinα)，(x)/(tanα)，进而可用α表示x；
（2）魔方增加的表面积为S=8-(x2)/(tanα)，结合（1）可得S=(72sinα•cosα)/((1+sinα+cosα)2)，α∈（0，(π)/(2)），令t=sinα+cosα=√(2)sin（α+(π)/(4)），t∈（1，√(2)]，利用分析法可得函数的最值．

名师点评

本题考点：

函数单调性的性质．

考点点评：

本题考查的知识点是求函数的解析式，函数的最值，其中根据边长被截得的三段长分别为x，(x)/(sinα)，(x)/(tanα)，用α表示x是解答的关键．

扫描下载二维码

©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议