某省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（170.5，16）．现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和1

Question

某省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（170.5，16）．现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5），第二组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5），图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；
（2）求这50名男生身高在177.5cm以上（177.5cm）的人数；
（3）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
（参考数据：若ξ～N（μ，σ²），P（μ-σ<ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ<ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ<ξ≤μ+3σ）=0.9974．）

Answer 1

（1）根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为

.

x

=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，
∴高于全市的平均值170.5；（4分）
（2）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，
∴人数为0.2×50=10，
即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人；…（6分）
（Ⅲ）∵P（170.5-3×4<ξ≤170.5+3×4）=0.9974，
∴P（ξ≥182.5）=(1-0.9974)/(2)=0.0013，
∴0.0013×100 000=130，
全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；
∴随机变量ξ可取0，1，2，于是
P（ξ=0）=(C25)/(C210)=(2)/(9)，P（ξ=1）=(C15C15)/(C210)=(5)/(9)，P（ξ=2）=(C25)/(C210)=(2)/(9)，
∴Eξ=0×(2)/(9)+1×(5)/(9)+2×(2)/(9)=1．…（12分）