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某省高中男生身高统计调查数据显示:全省100000名男生的身高服从正态分布N(170.5,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之
题目详情
某省高中男生身高统计调查数据显示:全省100000名男生的身高服从正态分布N(170.5,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第1组[157.5,162.5),第2组[162.5,167.5),…,第6组[182.5,187.5],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(Ⅰ)试评估该校高三年级男生的平均身高;
(Ⅱ)求这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数;
(Ⅲ)在这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人中任意抽取2人,该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974.
(Ⅰ)试评估该校高三年级男生的平均身高;
(Ⅱ)求这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数;
(Ⅲ)在这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人中任意抽取2人,该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)根据频率分布直方图,得我校高三年级男生平均身高为
=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5,
∴高于全市的平均值170.5;(4分)
(Ⅱ)由频率分布直方图知,后两组频率为0.2,
∴人数为0.2×50=10,
即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人;…(6分)
(Ⅲ)∵P(170.5-3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974,
∴P(ξ≥182.5)=
=0.0013,
∴0.0013×100 000=130,
全省前130名的身高在182.5 cm以上,这50人中182.5 cm以上的有5人;
∴随机变量ξ可取0,1,2,于是
P(ξ=0)=
=
,P(ξ=1)=
=
,P(ξ=2)=
=,
∴Eξ=0×
+1×
+2×
=1.…(12分)
. |
x |
∴高于全市的平均值170.5;(4分)
(Ⅱ)由频率分布直方图知,后两组频率为0.2,
∴人数为0.2×50=10,
即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人;…(6分)
(Ⅲ)∵P(170.5-3×4<ξ≤170.5+3×4)=0.9974,
∴P(ξ≥182.5)=
1-0.9974 |
2 |
∴0.0013×100 000=130,
全省前130名的身高在182.5 cm以上,这50人中182.5 cm以上的有5人;
∴随机变量ξ可取0,1,2,于是
P(ξ=0)=
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∴Eξ=0×
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