（2014•朝阳区一模）如图1所示，木板A静止在光滑水平面上，一小滑块B（可视为质点）以某一水平初速度从木板的左端冲上木板．（1）若木板A的质量为M，滑块B的质量为m，初速度为v0，且

Question

（2014•朝阳区一模）如图1所示，木板A静止在光滑水平面上，一小滑块B（可视为质点）以某一水平初速度从木板的左端冲上木板．
（1）若木板A的质量为M，滑块B的质量为m，初速度为v₀，且滑块B没有从木板A的右端滑出，求木板A最终的速度v；
（2）若滑块B以v₁=3.0m/s的初速度冲上木板A，木板A最终速度的大小为v=1.5m/s；若滑块B以初速度v₂=7.5m/s冲上木板A，木板A最终速度的大小也为v=1.5m/s．已知滑块B与木板A间的动摩擦因数μ=0.3，g取10m/s²．求木板A的长度L；
（3）若改变滑块B冲上木板A的初速度v₀，木板A最终速度v的大小将随之变化．请你在图2中定性画出v-v₀图线．

Answer 1

（1）设向右为正方向，根据动量守恒定律得：mv₀=（M+m）v
解得：v＝(mv0)/(m+M)   
（2）由题意得：
滑块B以v₁=3.0m/s的初速度冲上木板A，滑块未掉下就达到共同速度，由动量守恒定律得：
mv₁=（M+m）v
即：3m=1.5（m+M）
解得：M=m    ①
当滑块B以v₁=7.5m/s的初速度冲上木板A，滑块掉下
由牛顿第二定律得：
对滑块：a1＝(μmg)/(m)＝μg＝0.3×10m/s2＝3m/s2
对木板：a2＝(μmg)/(M)＝μg＝0.3×10m/s2＝3m/s2
滑块在木板上运动时间为：t＝(v)/(a1)＝(1.5)/(3)s＝0.5s
这段时间内滑块前进的位移为：x1＝v0t−(1)/(2)a1t2=7.5×0.5−(1)/(2)×3×0．52m＝3.375m
木板前进的位移为：x2＝(1)/(2)a2t2＝(1)/(2)×3×0．52m＝0.375m
木板A的长度为：L=x₁-x₂=3.375-0.375m=3m
（3）滑块的速度比较小时，滑块掉不下去，
根据动量守恒得：
滑块和木板的速度相同为：v＝(mv0)/(m+M)，即v与v₀成正比，
当滑块初速度比较大时，滑块掉下，相对位移不变，设滑块掉下去时，木板的速度为v；  
滑块在木板上运动时间为：t＝(v)/(a2)＝(v)/(3) 
这段时间内滑块前进的位移为：x1＝v0t−(1)/(2)a1t2=v0×(v)/(3)−(1)/(2)×3×((v)/(3))2＝(vv0)/(3)−(v2)/(6)   
木板前进的位移为：x2＝(1)/(2)a2t2＝(1)/(2)×3×((v)/(3))2＝(v2)/(6)
L＝x1−x2＝(vv0)/(3)−(v2)/(6)−(v2)/(6)＝(vv0−v2)/(3)
即：v0＝v+(9)/(v)，
当且仅当v＝(9)/(v)，即v=3m/s时，v₀有最小值，即当v0≥3+(9)/(3)m/s＝6m/s，滑块滑下木板，
其图象如图所示：

答：（1）求木板A最终的速度v＝(mv0)/(m+M)．
（2）木板A的长度L=3m．
（3）见上图．