如图，△ABC内接于O，AC为O的直径，PB是O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交O于D，连接BD．（1）求证：BD平分∠PBC；（2）若O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．

Question

如图，△ABC内接于 O，AC为 O的直径，PB是 O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交 O于D，连接BD．

（1）求证：BD平分∠PBC；
（2）若 O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OB．
∵PB是 O切线，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，
∴∠PBD+∠OBD=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵OP⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠PBD=∠EBD，
∴BD平分∠PBC．
（2） 作DK⊥PB于K，
∵(S△BDE)/(S△BDP)=((1)/(2)BE•DE)/((1)/(2)PB•DK)=(DE)/(DP)，
∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，
∴DK=DE，
∴(BE)/(PB)=(ED)/(PD)=(1)/(3)，
∵∠OBE+∠PBE=90°，∠PBE+∠P=90°，
∴∠OBE=∠P，∵∠OEB=∠BEP=90°，
∴△BEO∽△PEB，
∴(BO)/(PB)=(OE)/(BE)，
∴(OE)/(BO)=(BE)/(PB)=(1)/(3)，
∵BO=1，
∴OE=(1)/(3)，
∵OE⊥BC，
∴BE=EC，∵AO=OC，
∴AB=2OE=(2)/(3)．