已知数列｛an｝满足a1=1,an+an+1=(1/4)n(n∈N*),sn=a1+4a2+4^2a3+…+4^(n-1)an,类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,求5sn-4^nan

Question

已知数列｛an｝满足a1=1,an+an+1=(1/4)n(n∈N*),
sn=a1+4a2+4^2a3+…+4^(n-1)an,类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,求5sn-4^nan

Answer 1

an+a=(1/4)n,
以n+1代n,得
a+a=(1/4)(n+1),
相减得a-an=1/4,
a1=1,a1+a2=1/4,a2=-3/4,
a=1+(1/4)(k-1)=(k+3)/4,
a=-3/4+(1/4)(k-1)=(k-4)/4.
总之,an=[-0.5+(-1)^(n+1)*7.5+n]/8.
sn=a1+4a2+4^2a3+…+4^(n-1)an,①
16sn=.4^2a1+...+4^(n-1)a+4^n*a+4^(n+1)an,②
①-②,-15sn=1-3+(1/4)[4^2+4^3+……+4^(n-1)]-4^n[a+4an]
=-2-(1/12)(16-4^n)-4^n[-0.5+(-1)^n*7.5+n-1-2+(-1)^(n+1)*30+4n]/8
=(-1/12)(40-4^n)-4^n[5n-3.5-(-1)^n*22.5]/8
=(-1/24){80-4^n[15n-12.5-(-1)^n*67.5]},
∴5sn=(1/72){80-4^n[15n-12.5-(-1)^n*67.5]},
5sn-4^nan=(1/72){80-4^n[24n-17-(-1)^n*135 ]}.
挺繁!