如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45度．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．

Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45度．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于    ．

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45度．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于    ．

   

Answer 1

首先理解题意，得出此题应该分三种情况进行分析，分别是AB=AE，AB=BE，AE=BE，从而得到最后答案．
【解析】
根据已知条件可得，作AM⊥BC，DN⊥BC，

∴BM=（BC-AD）÷2，
在直角三角形ABM中，cosB=，
则AB=（BC-AD）÷2÷cosB=3，
①当AB=AE（AE′）时，如图，
∠B=45°，∠AE′B=45°，
∴AE′=AB=3，
则在Rt△ABE′中，BE′==3，
故E′C=4-3=．
易得△FE′C为等腰直角三角形，
故FC==2．
②当AB=BE″时，
∵AB=3，
∴BE″=3，
∵∠AE″B=∠BAE″=（180-45）÷2=67.5°，
∴∠FE″C=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CFE″=180°-∠C-∠FE″C=67.5°，
∵△E″CF为等腰三角形，
∴CF=CE″=CB-BE″=4-3；
③当AE=BE时，△ABE′和△CFE′是等腰Rt△，
∴BE′=，
∴CE′=
∴CF=FE′=．
故答案为：，2，4-3．

首先理解题意，得出此题应该分三种情况进行分析，分别是AB=AE，AB=BE，AE=BE，从而得到最后答案．
【解析】
根据已知条件可得，作AM⊥BC，DN⊥BC，

∴BM=（BC-AD）÷2，
在直角三角形ABM中，cosB=，
则AB=（BC-AD）÷2÷cosB=3，
①当AB=AE（AE′）时，如图，
∠B=45°，∠AE′B=45°，
∴AE′=AB=3，
则在Rt△ABE′中，BE′==3，
故E′C=4-3=．
易得△FE′C为等腰直角三角形，
故FC==2．
②当AB=BE″时，
∵AB=3，
∴BE″=3，
∵∠AE″B=∠BAE″=（180-45）÷2=67.5°，
∴∠FE″C=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CFE″=180°-∠C-∠FE″C=67.5°，
∵△E″CF为等腰三角形，
∴CF=CE″=CB-BE″=4-3；
③当AE=BE时，△ABE′和△CFE′是等腰Rt△，
∴BE′=，
∴CE′=
∴CF=FE′=．
故答案为：，2，4-3．