在△ABC，若有∠A＞∠B，则下列不等式中①sin∠A＞sin∠B；②cos∠A＜cos∠B；③sin2∠A＞sin2∠B；④cos2A＜cos2∠B你认为正确的序号为．

Question

在△ABC，若有∠A＞∠B，则下列不等式中
①sin∠A＞sin∠B； ②cos∠A＜cos∠B； ③sin2∠A＞sin2∠B； ④cos2A＜cos2∠B
你认为正确的序号为______．

Answer 1

①∵0＜B＜A＜π，A+B＜π，∴0＜(A+B)/(2)＜(π)/(2)，0＜(A−B)/(2)＜(π)/(2)．
∴sin(A−B)/(2)＞0，cos(A+B)/(2)＞0．
∴sinA-sinB=2cos(A+B)/(2)sin(A−B)/(2)＞0，∴①正确；
②∵0＜B＜A＜π，y=cosx在（0，π）内单调递减，∴cosA＜cosB；
③∵0＜B＜A＜π，A+B＜π，∴0＜A+B＜π，0＜A-B＜π，
而cos（A+B）=-cosC可能大于0，等于0，小于0．
∴sin2A-sin2B=2cos（A+B）sin（A-B）的符号不确定，因此不正确；
④∵0＜B＜A＜π，A+B＜π，∴0＜A+B＜π，0＜A-B＜π，
∴sin（A+B）=sinC＞0，sin（A-B）＞0，
∴cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B）＜0，∴cos2A＜cos2B．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．