如图所示，MN为光滑的水平面，NO是一长度S=1.25m、倾角为θ=37°的光滑斜面（斜面体固定不动），OP为一粗糙的水平面．MN、NO间及NO、OP间用一小段光滑圆弧轨道相连．一条质量为m=2kg，总长L=0.

Question

如图所示，MN为光滑的水平面，NO是一长度S=1.25m、倾角为θ=37°的光滑斜面（斜面体固定不动），OP为一粗糙的水平面．MN、NO间及NO、OP间用一小段光滑圆弧轨道相连．一条质量为m=2kg，总长L=0.8m的均匀柔软链条开始时静止的放在MNO面上，其AB段长度为L₁=0.4m．链条与OP面的摩擦系数μ=0.5．（g=10m/s²，sin37°=0.6．cos37°=0.8）现自由释放链条，求：

（1）链条的A端滑到O点时，链条的速率为多大？
（2）链条在水平面OP停下时，其C端离O点的距离为多大？

Answer 1

（1）链条的A端滑到O点的过程中，因为只有重力做功，所以机械能守恒．
设水平面为重力势能的零点．链条开始运动时的机械能为E₁
设AB段链条质量为m₁=1.0kg，BC段链条质量为m₂=1.0kg．
E₁=m₂gSsinθ+m₁g（Ssinθ-(L1)/(2)sinθ）=1×10×1.25×0.6+1×10×（1.25×0.6-0.2×0.6）=13.8J；
因为S>L，链条的A端滑到O点时，C点已在斜面上．设此时的机械能为E₂，
E₂=mg(L)/(2)sinθ+(1)/(2)mv²
由机械能守恒定律E₁=E₂
链条的A端滑到O点时的速率v
v=√((2E1-mgLsinθ)/(m))=√((2×13.8-2×10×0.8×0.6)/(2))=3m/s          
（2）链条在开始进入水平面阶段，摩擦力是变力．
但摩擦力随距离均匀增大，可以用平均摩擦力求摩擦力做功
从链条的A端滑到O点到最终链条停下的过程，由动能定理
mg(L)/(2)sinθ-(1)/(2)μmgL-μmgX=0-(1)/(2)mv²                         
链条在水平面OP停下时，其C端离O点的距离X
X=(gLsinθ-μgL+v2)/(2μg)=(10×0.8×0.6-0.5×10×0.8+32)/(2×0.5×10)=0.98m．
答：（1）链条的A端滑到O点时，链条的速率为3m/s；
（2）链条在水平面OP停下时，其C端离O点的距离为0.98m．