直线分面的问题问n条直线可以把一个平面最多分成多少个部分呢?

Question

直线分面的问题
问n条直线可以把一个平面最多分成多少个部分呢?

Answer 1

●第1条分成2个,
第2条分成4个,
第3条分成7个,
第4条分成11个,
第2条比第1条多分2个,
第3条比第2条多分3个
第4条比第3条多分4个
所以第n条,比第n-1条多分n个.
第2条的个数:4=2+2
第3条的个数:7=2+2+3
第4条的个数:11=2+2+3+4
第n条的个数:=2+2+3+4+ ----- +n
2+2+3+4+ ----- +n
=1+1+2+3+4+ ---- +n
=1+n*(n+1)/2
当n=1时,1+n*(n+1)/2=2
当n=2时,1+n*(n+1)/2=4
当n=3时,1+n*(n+1)/2=7
所以n条直线把平面分成1+n*(n+1)/2个
●n条直线最多可以将一个平面分成：
1＋（1＋2＋3＋…＋n）
= 1＋n（n+1）÷2（块）
先画一个圆,然后依次画出1条、2条、3条、4条、5条……直线,为使分成的块数最多,新画的直线都要与前面画出的每条直线相交,记录直线的条数和分成的块数,再从中找出规律.
●1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点,这3个交点将第4条直线分成4段,其中每一段将原来所在平面部分一分为二,所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分．
完全类似地,5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分．
一般地,n条直线最多将平面分成2+2+3.+N=1/2（N的平方+N+2)
●原来是1个部分,多第1条线就多了1个部分,多第2条线就又多了2个部分（可以理解为在第一条线的两边各增加一个部分）,所以N条线可以把平面分为1+1+2+3+...+n个部分
●1条线分成2部分
设已有（n-1）条线,分成m部分.
再添一条线,与前面（n-1）条线相交,共穿过（n-1+1）个区域,
把每个穿过的区域都分成了2部分,增加了n个部分,从m个部分变成了（m+n）个部分.
从1条直线算起：
2+2+3+4+5+.+n= n（n+1）/2 +1
第一个2是“1条线分成2部分”的2,
之后的2+3+4+...+n是每一条直线增加的区域.