如图1，若分别以△ABC和AC、BC两边为直角边向外侧作等腰直角△ACD、△BCE，则称这两个等腰直角三角形为外展双叶等腰直角三角形．（1）发现：如图2，当∠ACB=90°，求证：△ABC与△DCE的面

Question

如图1，若分别以△ABC和AC、BC两边为直角边向外侧作等腰直角△ACD、△BCE，则称这两个等腰直角三角形为外展双叶等腰直角三角形．
（1）发现：如图2，当∠ACB=90°，求证：△ABC与△DCE的面积相等．
（2）引申：如果∠ACB≠90°时．（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）运用：①如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作四边形ABED、BCFG和ACIH为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AB=4，BC=3，当△ABC满足___时，图中△ADH、△BEF、△CGI的面积和有最大值是___②如图4，在△ADH、△BEF、△CGI的面积和取最大值时，试写出S_△DEF、S_△GFE、S_{正方形AHIC}三者之间的数量关系．

Answer 1

（1）如图1所示：

∵△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴DC=AC，CE=CB，∠ACD=∠BCE=90°．
∵∠ACB=∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠DCE=90°．
在△DEC和△ABC中，

DC=AC

∠ACB=∠DCE

CE=CB

，
∴△DCE≌△ACB．
∴△ABC与△DCE的面积相等．
（2）成立．
理由：如图2所示：过点A作AG⊥BC，过点D作DF⊥CE，垂足为F．

∵△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴∠DCA=∠ECB=∠FCB=90°，DC=AC，CE=CB．
∵FE⊥BC，AG⊥CB，
∴FC∥AG．
∴∠FCA=∠GAC．
∵∠DCF+∠FCA=90°，∠FCA+∠ACG=90°，
∴∠DCF=∠ACG．
在△DCF和△ACG中，

∠DFC=∠CGA

∠DCF=∠ACG

DC=AC

，
∴△DCF≌△ACG．
∴FD=AG．
又∵CE=CB．
∴(1)/(2)CE•DC=(1)/(2)CB•AG，即△ABC与△DCE的面积相等．
（3）①如图3所示：

∵由（2）可知：S_△ADH=S_△ABC、S_△BEF=S_△ABC、S_△CGI=S_△ABC，
∴S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI=3S_△ABC．
∴当∠ACB=90°，时S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI有最大值，最大值=3×(1)/(2)×3×4=18．
故答案为：∠ACB=90°；18．
②S_△DEF+S_△EFG=(1)/(2)S_{正方形AHIC}．
理由：由①可知当∠ACB=90°时，S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI有最大值．
当∠ACB=90°时，如图4所示：

∵四边形ABED为正方形，
∴∠ABE=90°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠ABC=90°+90°=180°．
∴点E、B、C在一条直线上．
∴△DEF的面积=(1)/(2)ED•AD=(1)/(2)AB²．
同理：△EFG的面积=(1)/(2)FG•CG=(1)/(2)CB²．
∵AC²=AB²+BC²，
∴S_△DEF+S_△EFG=(1)/(2)AB²+(1)/(2)CB²=(1)/(2)AC²=(1)/(2)S_{正方形AHIC}．
∴S_△DEF+S_△EFG=(1)/(2)S_{正方形AHIC}．