怎么理解一阶线性微分方程?希望能详细解释每一个定义.比如一阶是什么定义特别希望能解释一下线性的定义还有一届线性微分方程中除了齐次方程非齐次方程和伯努利方程之外还有什

Question

怎么理解一阶线性微分方程?希望能详细解释每一个定义.比如 一阶 是什么定义特别希望能解释一下线性 的定义还有一届线性微分方程中 除了齐次方程 非齐次方程 和伯努利方程之外还有什么方程?

Answer 1

首先要明白微分方程中的阶的意义：一个微分方程中含有的导数或微分的最高阶数,就叫做这个微分方程的阶.如y"+xy=ysinx就是二阶微分方程了.一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程.数学中的线性运算是指加减或乘以常数的运算.而在微分方程中,自变量对未知函数y而言相当于常数,微分方程中的线性是指未知函数y和它的各阶导数或微分只有加减或只是乘以自变量或自变量的函数.而未知函数y和它的各阶导数或微分之间没有相乘或其他形式的运算或函数形式.最终都可以化为形如dy/dx ＋p(x)y=q(x)的微分方程就叫做一阶线性微分方程,其中p(x),q(x)可以是自变量的任意函数.q(x)恒为零,则式子为一阶线性齐次方程,否则为一阶线性非齐次方程.因此齐次方程与非齐次方程是一阶线性微分方程的两大分类,一个一阶线性微分方程不是齐次方程就是非齐次方程.至于伯努利方程,实际上是一种非线性的一阶微分方程,但是经过适当的变量变换之后,它可以化成一阶线性方程.要转化之后才是一阶线性方程,因此你提问中的说法也是不对的,不是“一阶线性微分方程中,除了……和伯努利方程之外”,因为伯努利方程不在一阶线性方程中.
至于其他更详细的分类或者说其他形式的分类当然也有,如可分离变量的一阶线性微分方程等,不过一阶线性微分方程应该是最简单的微分方程了,过多分类已经没有什么必要,在此也就不一一枚举了.